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\chapter*{Introducción}



el propósito de esta tesis fue elaborar unas notas sobre las integrales
de funciones de varias variables. Este trabajo pretende ser de utilidad a
quienes cursan o imparten materias en las que se aborda el tema. En la
Facultad de Ciencias, está dirigido a estudiantes, ayudantes y
profesores del curso de Calculo IV.

Aquí se pretende dar un enfoque algo distinto a otros libros de Cálculo que abordan el tema. Cada definición, cada lema o teorema, vienen
acompañados de una discusión donde se trata de ir desarrollando la
construcción de los conceptos y resultados, desde lo más simple y
sencillo hasta lo más formal; primero de forma intuitiva buscando que
sea claro y comprensible cómo se está construyendo el concepto en
cuestión, alentando al lector a la reflexión y motivándolo para
pasar a construcciones más formales; construcciones que se procura
desarrollar con todo rigor teórico.

Los prerrequisitos son: contar con el conocimiento de cálculo de
funciones de una variable y, sobre todo, dominar el concepto del supremo de
un conjunto de números reales. Se inicia con un capítulo cero, en
el que se abordan de forma rápida y escueta las cuestiones fundamentales
que, se supone, el lector ya debe dominar, y se usan a lo largo del texto.

a exposición se divide en tres partes. La primera parte se dedica a la
integral sobre rectángulos y consta de los primeros tres capítulos.
En el primero se construye la definición de la integral de Riemann y se
demuestran las propiedades de la integral sobre rectángulos. En el
segundo capítulo se discuten las condiciones bajo las cuales una función, definida en un rectángulo, es integrable; incluye la discusión de los conceptos de medida y contenido cero y la demostración del
teorema que establece condiciones necesarias y suficientes para que una función sea integrable (la mayoría de los libros de cálculo hacen
esta demostración utilizando resultados de análisis, aquí sólo se usan resultados expuestos en el texto). El capítulo  \ref{ch:03} está dedicado al teorema de Fubini y el cálculo práctico de
integrales.

La segunda parte trata la integral de funciones sobre conjuntos arbitrarios
y abarca los capítulos \ref{ch:04}, \ref{ch:05} y \ref{ch:06}. En el \ref{ch:04} se discute cuándo un
conjunto contenido en $\mathbb{R}^{n}$ tiene área o es Jordán
medible, las propiedades de tales conjuntos y la relación entre
contenido cero y área cero (medida de Jordán). En el capítulo \ref{ch:05} 
se construye la definición de la integral de una función definida
sobre un conjunto acotado arbitrario $\Omega \subseteq \mathbb{R}^{n}$, se
demuestran sus propiedades y se discute la relación entre conjuntos con 
área (Jordán medibles) y la integral. Por último, en el capítulo \ref{ch:06}, se aborda la cuestión práctica del cálculo de
integrales sobre conjuntos arbitrarios.

La tercera y última parte está dedicada al teorema de cambio de
variables, son los tres últimos capítulos. En el capítulo \ref{ch:07},
se discute el planteamiento general del problema de calcular la integral de
una función $f:\Omega \subseteq \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}^{n}$, cambiando el conjunto $\Omega $ por una región sobre la cual resulte más sencillo calcular la integral; se discute lo que es un cambio de
variables y se plantea el problema con coordenadas polares, construyendo una
fórmula que nos permite ver a un conjunto $\Omega $ como la imagen de
otro conjunto bajo una función $g$ que transforma rectángulos en círculos, y queda claro que, en el fondo, lo que se está haciendo es
algo así como \emph{"transformar áreas"}. Al final del capítulo se recuerdan brevemente algunos resultados de álgebra lineal que se
usan en el siguiente capítulo y se construye una fórmula para 
\emph{transformar áreas} con transformaciones lineales.

En el capítulo \ref{ch:08} se discuten las condiciones bajo las cuáles se
puede calcular el área de un conjunto $\Omega $, viéndolo como la
imagen de una transformación $g$, tal que $g(B)=\Omega $ (bajo qué
condiciones el conjunto $g(B)=\Omega $ es Jordán medible); y se
demuestra un resultado general al respecto. Esta demostración se hace
muy detalladamente, justificando claramente cada paso y utilizando sólo
resultados expuestos en el texto. Exhortamos al lector a no desesperarse con
lo largo de las demostraciones de las afirmaciones previas ya que con ellas
se resuelve el problema fundamental del teorema de integración con
cambio de variables (cómo es que se puede pasar, de integrar una función $f$ sobre un conjunto $\Omega =g(B)$, a integrar sobre el conjunto $B$) y simplifica su demostración.

Al final del capítulo se dan las fórmulas para transformar volúmenes con coordenadas cilíndricas y esféricas. Y, por último,
en el capítulo \ref{ch:09} se demuestra el teorema de integración con cambio
de variables y se dan las fórmulas para integrar cambiando variables con
coordenadas cilíndricas y esféricas.

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En la tercera parte, tanto las discusiones como las demostraciones se hacen
para transformaciones del plano en el plano y el teorema de integración
cambiando variables, se hace para funciones que van de un conjunto $\Omega
\subseteq \mathbb{R}{{}^2}$ a los reales. Aunque todos los resultados usados en las demostraciones son
válidos en $\mathbb{R}^{n}$ (es decir, que se pueden generalizar las
demostraciones), quisimos hacerlo detenidamente para el caso de $\mathbb{R}^{2}$ con el fin hacerlo más comprensible, dar una idea geométrica y
simplificar la notación, que ya de por sí resulta un tanto
engorrosa para este caso; además de que consideramos que es más que
suficiente para que, alguien que cursa Cálculo IV o sus equivalentes en
materias impartidas en otras escuelas del nivel licenciatura, revise la
demostración si así lo desea (no consideramos necesaria su exposición en clase).

En todos los capítulos se dan bastantes ejemplos y, al final de cada
uno, viene una lista de ejercicios. Aclaro que no se abordan aplicaciones,
se pretende incluirlas en una edición posterior.

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Debo decir que tuve la fortuna de contar con un excelente equipo de
sinodales, todos expertos en el tema, y a quienes agradezco sus valiosas
contribuciones. A Héctor Méndez y Ángel Carrillo, quienes se
dieron la paciencia y el tiempo para realizar una revisión detallada y
escrupulosa del trabajo, haciendo un sinnúmero de observaciones,
comentarios y sugerencias tanto de forma y estilo como de contenido, en
varios casos corrigiendo errores cometidos y sugiriendo la manera de
corregirlos, en otros casos sugiriendo cómo hacer más simple y/o más elegante una demostración; en general, enriqueciendo realmente el
trabajo. Y a Miguel Lara que con sus comentarios y observaciones generales,
le imprimió un sello a la forma en que finalmente quedó redactado
este trabajo.

También he tenido la fortunada de contar con la asesoría y respaldo
de dos de los mejores profesores de Cálculo de la Facultad de Ciencias
de la UNAM, que contribuyeron de forma especial, tanto para animarme a
realizar la tesis sobre éste tema, como en el desarrollo del mismo, me
refiero a Jefferson King y Javier Fernández. Los apuntes y guiones para
clase de mi director de tesis, Jefferson, se usaron para formar la columna
vertebral de este trabajo, en particular el capítulo que trata los
conjuntos Jordán medibles, donde prácticamente lo único que hice
fue transcribir las notas de Jeff; además el contenido de cada capítulo fue ampliamente discutido con él. De Jeff he aprendido mucho tras 8
años de trabajar con él en los cursos de cálculo. Las notas de
clase de el profesor Javier Fernández, uno de los sinodales, se usaron
para enriquecer el contenido de varios capítulos; y, las discusiones
con él, ayudaron a hacer más accesisbes varias demostraciones.
Ambos, Javier y Jeff, son responsables del enfoque que se sigue en este
trabajo.

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Aprovecho para agradecer a mis padres Martha y Hernando, a mis hermanos Hernándo y Juan, a mis hermanas, amigas, confidentes y cómplices Martha, 
Ángeles y Ana. A May. A mis compañeros de vida los luchos. A mi
familia adoptiva, los Gonzáles Guinea; a Paz y Jeff, siempre solidarios.
A todos los que abandoné en el Ho Chi Minh y alrededores por clavarme a
hacer este trabajo y por otros asuntos.

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\begin{center}
\emph{Dedico este trabajo a mi tio:}

\emph{Juan Contreras Peña}\bigskip

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"Si tomamos al hombre como \emph{hombre }y su actitud ante el mundo como
una actitud humana, vemos que sólo podemos cambiar amor por amor,
confianza por confianza, y así sucesivamente. Quien quiera gozar del
arte necesita ser una persona artísticametne culta; quien desee influir
sobre otras gentes tiene que ser una persona que ejerza sobre ellas una
fuerza realmente estimulante y propulsora (que estimule y lleve adelante a
los demás). Cada una de tus relaciones (actitudes) con el \emph{hombre}
y la naturaleza tiene que ser una \emph{determinada manifestación de
tu vida individual real}, una manifestación que corresponde al objeto de
tu voluntad. Quien experimente amor sin ser correspondido, es decir, sin que
su amor provoque el amor del ser amado, quien por medio de su \emph{manifestación de vida} como amante no sea, al mismo tiempo, un \emph{ser amado}, sentirá que su amor es impotente, una fuente de desdicha."

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\qquad \qquad \qquad \qquad Carlos Marx, \emph{Manuscritos Económicos
y Filosóficos de 1844.}
\end{center}
